Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）求所有的实数a，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方；

（3）若存在，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）将函数写成分段函数的性质，根据分段函数在上是单调增函数，即可求得参数的范围；

（2）根据题意，分离参数，将问题转化求解函数在区间上最值的问题，即可求得；

（3）将方程根的个数的问题，转化为函数图像交点个数的问题，求出函数的值域，结合函数的单调性即可求得.

（1）∵函数.

由于在R上是连续的增函数，

所以只要当时为增函数且当时也为增函数；

即，解得，则a的范围为.

（2）由题意得对任意的实数，恒成立，

即，当恒成立，

即，

∴，

∴，

故且在上恒成立，

即在时，只要的最大值且的最小值即可，

而当时，为增函数，；

当时，为增函数，，

∴.

所以满足条件的所有.

（3）由题意得，关于x的方程有三个不相等的实数根

有三个不相等的实数根；

即与有三个不同的交点；

①当时，由（1）知，在R上是增函数，

则关于x的方程不可能有三个不等的实数根；

②当时，由.

当时，∵，

∴对称轴，

则在为增函数；

此时的值域为，

当时，对称轴，

∵，∴，

∴对称轴，

则在为增函数，此时的值域为，

在为减函数，此时的值域为；

综上所述，若存在，使与有三个不同的交点，

则，

即存在，使得即可，

令，

只要使即可，而在上是增函数，

.

故可得.