Question

14．已知定义在R上的奇函数f（x），当0＜x≤1时，f（x）=3^x+1．
（Ⅰ）求f（0）和f（log₃2）的值；
（Ⅱ）当-1≤x≤1时，求f（x）的解析式（结果写成分段函数形式）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（x）是定义在R上的奇函数求f（0）；根据当0＜x≤1时，f（x）=3^x+1，求f（log₃2）的值；
（Ⅱ）根据奇函数的定义进行求解即可求f（x）的解析式．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∵当0＜x≤1时，f（x）=3^x+1，
∴f（log₃2）=${3}^{lo{g}_{3}2}$+1=2+1=3；
（Ⅱ）设-1≤x＜0时，则0＜-x≤1，
∵当0＜x≤1时，f（x）=3^x+1，
∴f（-x）=3^-x+1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-3^-x-1，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{3}^{-x}-1，-1≤x＜0}\\{0，x=0}\\{{3}^{x}+1，0＜x≤1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了奇偶性的应用．若已知一个函数为奇函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x都有f（-x）=-f（x）成立．