Question

（本小题满分16分）在数列 中，已知 ，为常数.

（1）证明: 成等差数列;

（2）设 ，求数列 的前n项和 ；

（3）当时，数列 中是否存在三项 成等比数列，且也成等比数列?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）详见解析，

（2）当，当

（3）不存在

【解析】

试题分析：（1）判定三项成等差数列，基本方法为验证：分别求出，，，满足（2）将条件变形为，从而是以0为首项，公差为的等差数列，即，所以，，当，当（3）由（2）用累加法可求得，假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，则，即，，化简得，得．矛盾．

试题解析：（1）因为，

所以，

同理，，， 2分

又因为，， 3分

所以，

故，，成等差数列． 4分

（2）由，得， 5分

令，则，，

所以是以0为首项，公差为的等差数列，

所以， 6分

即，

所以，

所以． 8分

当， 9分

当． 10分

（3）由（2）知，

用累加法可求得，

当时也适合，所以 12分

假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，

则，即， 14分

因为成等比数列，所以，

所以，

化简得，联立 ，得．

这与题设矛盾．

故不存在三项成等比数列，且也成等比数列． 16分

考点：叠加法数列通项