题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，
，
分别为椭圆
的左、右焦点．动直线
过点，且与椭圆
相交于
，
两点（直线与
轴不重合）．
（1）若点的坐标为
，求点坐标；
（2）点
，设直线
，
的斜率分别为
，
，求证：
；
（3）求
面积最大时的直线的方程．
【答案】(1) 
(2)见证明；(3) 
【解析】
（1）由已知得到直线l的方程，与椭圆方程联立即可求得点B的坐标；
（2）设直线l的方程为x＝ty+1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即可证明k1+k2＝0；
（3）△AF1B的面积S
|F1F2||y1﹣y2|＝|y1﹣y2|
．把（2）中的根与系数的关系代入，可得S
．设函数f（x）＝9x
（x≥1），利用导数可得f（x）＝9x在[1，+∞）上单调递增，得到当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）
取最小值10．由此可得直线l的方程为x＝1．
（1）因为直线
经过点
，
，
所以直线的方程为
．
由
解得
或
所以
．
（2）因为直线与
轴不重合，故可设直线的方程为
．
设
，
．
由
得
，
所以
，
，
因为
，
在直线上，所以
，
，
所以
，
，
从而 
．
因为
，
所以
．
（3）方法一：
的面积
.
由（2）知， ， ，
故
，
设函数
．
因为
，所以
在
上单调递增，
所以当
，即
时，
取最小值10．
即当时，
的面积取最大值，此时直线的方程为．
方法二：的面积
．
由（2）知， ， ，
故
，
因为
，所以
，
所以
，即时，的面积取最大值．
因此，的面积取最大值时，直线的方程为．
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