Question

设二项展开式C_n=（

3

+1）^2n-1（n∈N^*）的整数部分为A_n，小数部分为B_n．
（1）计算C₁B₁，C₂B₂的值；
（2）求C_nB_n．

Answer 1

（1）因为Cn=(

3

+1)2n-1，
所以C1=

3

+1，A₁=2，B1=

3

-1，所以C₁B₁=2；
又C2=(

3

+ 1)3=10+6

3

，其整数部分A₂=20，小数部分B2=6

3

-10，
所以C₂B₂=8．
（2）因为Cn=(

3

+1)2n-1=

C

02n-1

(

3

)2n-1+

C

12n-1

(

3

)2n-2+…+

C

2n-22n-1

3

+

C

2n-12n-1

①
而(

3

-1)2n-1=

C

02n-1

(

3

)2n-1

C

12n-1

(

3

)2n-2+…+

C

2n-22n-1

3

+

-C

2n-12n-1

②
①-②得：
(

3

+1)2n-1 -(

3

-1)2n-1=2（

C

12n-1

(

3

)2n-2+

C

32n-1

(

3

)2n-4+…+

C

2n-12n-1

）
而0＜(

3

-1)2n-1＜1，所以An=(

3

+1)2N-1-(

3

-1)2n-1，Bn=(

3

-1)2N-1
所以CnBn=(

3

+1)2n-1(

3

-1)2n-1=22n-1．