Question

设二项展开式Cn=(

3

+1)2n-1（n∈N^*）的小数部分为B_n．
（1）计算C₁B₁，C₂B₂的值；
（2）求证：CnBn=22n-1．

Answer 1

分析：（1）将n分别用1，2 代替求出C₁，C₂，利用多项式的乘法展开，求出C₁，C₂的小数部分B₁，B₂，求出C₁B₁，C₂B₂的值．
（2）利用二项式定理表示出C_n，再利用二项式定理表示出(

3

+1)2n-1，两个式子相减得到展开式的整数部分和小数部分，求出C_nB_n的值，从而证得结论．

解答：解：（1）由于Cn=(

3

+1)2n-1，所以，C₁=

3

+1 B₁=

3

-1 A₁=2，所以C₁B₁=2．
又C₂=(

3

+1)3=10+6

3

，其整数部分A₂=20，小数部分B₂=6

3

-10，
所以C₂B₂=8．
（2）证明：由于Cn=(

3

+1)2n-1=

C

0 2n-1

•(

3

)2n-1+

C

1 2n-1

•(

3

)2n-2+

C

2 2n-1

•(

3

)2n-3，
+…+

C

2n-1 2n-1

 ①，
又(

3

-1)2n-1=

C

0 2n-1

•(

3

)2n-1-

C

1 2n-1

•(

3

)2n-2+

C

2 2n-1

•(

3

)2n-3-

C

3 2n-1

(

3

)2n-4
+…+

C

2n-1 2n-1

 ②，
①-②可得，
(

3

+1)2n-1-(

3

-1)2n-1=2（

C

1 2n-1

•(

3

)2n-2+

C

3 2n-1

(

3

)2n-4+…+

C

2n-1 2n-1

），

而0＜(

3

-1)2n-1＜1，∴A_n=(

3

+1)2n-1-(

3

-1)2n-1，B_n=(

3

-1)2n-1．
故 C_nB_n=(

3

+1)2n-1•(

3

-1)2n-1=2^2n-1．

点评：解决二项式的有关问题一般利用二项式定理；解决二项展开式的通项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式，属于中档题．