Question

设二项展开式C_n=（

3

+1）^2n-1（n∈N^*）的整数部分为A_n，小数部分为B_n．
（1）计算C₁B₁，C₂B₂的值；
（2）求C_nB_n．

Answer 1

分析：（1）将n分别用1，2 代替求出C₁，C₂，利用多项式的乘法展开，求出C₁，C₂的小数部分B₁，B₂，求出C₁B₁，C₂B₂的值．
（2）利用二项式定理表示出C_n，再利用二项式定理表示出(

3

-1)2n-1，两个式子相减得到展开式的整数部分和小数部分，求出C_nB_n的值．

解答：解：（1）因为Cn=(

3

+1)2n-1，
所以C1=

3

+1，A₁=2，B1=

3

-1，所以C₁B₁=2；
又C2=(

3

+ 1)3=10+6

3

，其整数部分A₂=20，小数部分B2=6

3

-10，
所以C₂B₂=8．
（2）因为Cn=(

3

+1)2n-1=

C

0 2n-1

(

3

)2n-1+

C

1 2n-1

(

3

)2n-2+…+

C

2n-2 2n-1

3

+

C

2n-1 2n-1

①
而(

3

-1)2n-1=

C

0 2n-1

(

3

)2n-1-

C

1 2n-1

(

3

)2n-2+…+

C

2n-2 2n-1

3

-C

2n-1 2n-1

②
①-②得：
(

3

+1)2n-1 -(

3

-1)2n-1=2（

C

1 2n-1

(

3

)2n-2+

C

3 2n-1

(

3

)2n-4+…+

C

2n-1 2n-1

）
而0＜(

3

-1)2n-1＜1，所以An=(

3

+1)2N-1-(

3

-1)2n-1，Bn=(

3

-1)2N-1
所以CnBn=(

3

+1)2n-1(

3

-1)2n-1=22n-1．

点评：解决二项式的有关问题一般利用二项式定理；解决二项展开式的通项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．