Question

如图，在双曲线

y2

12

-

x2

13

=1的上支上有三点A（x₁，y₁），B（x₂，6），C（x₃，y₃），它们与点F（0，5）的距离成等差数列．
（1）求y₁+y₃的值；
（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标．

Answer 1

分析：（1）求出焦点坐标和准线方程，依据双曲线第二定义有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入
2|FB|=|FA|+|FC|得，2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|，即2（6-

12

5

）=y1-

12

5

+y3-

12

5

，求出y₁+y₃ 的值．
（2） 用点斜式求出 线段AC的中垂线的方程 为 y-6=-

x3 -x1

y3-y1

（x-

x1+x3

2

） ①，
 把

y12

12

-

x12

13

=1，

y32

12

-

x32

13

=1，相减得 

12(y1-y3)

12

=

x12-x32

13

，
可得x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得  y=-

x3 -x1

y3-y1

x+

25

2

，显然过定点（0，

25

2

）．

解答：（1）解：c=

12+13

=5，故F为双曲线的焦点，设F对应准线为l，则l的方程 y=

12

5

，离心率为e=

c

a

=

5

12

，
由题设有2|FB|=|FA|+|FC|．①分别过A、B、C作x轴的垂线AA₂、BB₂、CC₂，交l于A₁、B₁、C₁，
则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入①式，得 2e|BB₁|=e|AA₁|+e|CC₁|，
即2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|．∴2（6-

12

5

）=y1-

12

5

+y3-

12

5

，∴y₁+y₃=12．
（2）证明：线段AC中点D（

x1+x3

2

，6），线段AC的斜率为

y3 -y1

x3-x1

，
∴线段AC的中垂线的斜率为-

x3 -x1

y3-y1

，∴线段AC的中垂线的方程为 y-6=-

x3 -x1

y3-y1

（x-

x1+x3

2

） ①，
 又A、C在双曲线上，∴

y12

12

-

x12

13

=1，

y32

12

-

x32

13

=1，相减得 

12(y1-y3)

12

=

x12-x32

13

，
∴x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得  线段AC的中垂线的方程为 y=-

x3 -x1

y3-y1

x+

25

2

，
显然过定点（0，

25

2

）．

点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，等差数列的定义．