Question

如图，在双曲线-=1的上支上有三点A(x₁,y₁),B(x₂,6),C(x₃,y₃),它们与点F(0,5)的距离成等差数列.

(1)求y₁+y₃的值；

(2)证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.

Answer 1

(1)解：c==5,故F为双曲线的焦点，设准线为l,离心率为e，由题设有

    2|FB|=|FA|+|FC|.                                               ①

    分别过A、B、C作x轴的垂线AA₂、BB₂、CC₂,交l于A₁、B₁、C₁,则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB₁|,|FA|=e|AA₁|,|FC|=e|CC₁|,代入①式，得2e|BB₁|=e|AA₁|+e|CC₁|,

    即2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|.

    于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有2|BB₂|=|AA₂|+|CC₂|,

    此即2×6=y₁+y₃,可见y₁+y₃=12.

(2)证明：AC的中垂线方程为

    y-=-(x-),

    即y-6=-x+.                           ②

    由于A、C均在双曲线上，

    所以有-=1,-=1.

    相减得=.于是有=(y₁+y₃)=·12=13,

    故②变为y=-x+,易知此直线过定点D(0,).

讲评：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.