题目内容

如图，在双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1的上支上有三点A（x₁，y₁），B（x₂，6），C（x₃，y₃），它们与点F（0，5）的距离成等差数列．
（1）求y₁+y₃的值；
（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标．

（1）解：c= $\text{[math]}$ =5，故F为双曲线的焦点，设F对应准线为l，则l的方程 y= $\text{[math]}$ ，离心率为e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由题设有2|FB|=|FA|+|FC|．①分别过A、B、C作x轴的垂线AA₂、BB₂、CC₂，交l于A₁、B₁、C₁，
则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入①式，得 2e|BB₁|=e|AA₁|+e|CC₁|，
即2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|．∴2（6- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，∴y₁+y₃=12．
（2）证明：线段AC中点D（ $\text{[math]}$ ，6），线段AC的斜率为 $\text{[math]}$ ，
∴线段AC的中垂线的斜率为- $\text{[math]}$ ，∴线段AC的中垂线的方程为 y-6=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ） ①，
又A、C在双曲线上，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，相减得 $\text{[math]}$ ，
∴x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得线段AC的中垂线的方程为 y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
显然过定点（0， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）求出焦点坐标和准线方程，依据双曲线第二定义有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入
2|FB|=|FA|+|FC|得，2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|，即2（6- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，求出y₁+y₃ 的值．
（2）用点斜式求出线段AC的中垂线的方程为 y-6=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ） ①，
把 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，相减得 $\text{[math]}$ ，
可得x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得 y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，显然过定点（0， $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，等差数列的定义．