Question

1．已知点F是抛物线C：y²=x的焦点，点S是抛物线C上在第一象限内的一点，且|SF|=$\frac{5}{4}$．
（1）求点S的坐标；
（2）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A，B，延长SA，SB分别交抛物线C于M，N两点，若直线MN与y轴上的截距b∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}}$），求△SMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设S（x₀，y₀）（y₀＞0），由已知得F（$\frac{1}{4}$，0），则|SF|=x₀+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，由此能求出点S的坐标．
（2）设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），与抛物线方程联立得ky²-y+1-k=0，求出M，N的坐标导出直线MN的斜率为定值，设出直线MN的方程与抛物线方程联立，求出△SMN面积，换元，利用导数的方法求△SMN面积的最大值．

解答 解：（1）设S（x₀，y₀）（y₀＞0），由已知得F（$\frac{1}{4}$，0），则|SF|=x₀+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∴x₀=1，
∴y₀=1，∴点S的坐标是（1，1）------------------------（2分）
（2）设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），
与抛物线方程联立得ky²-y+1-k=0，
∴y₁=$\frac{1}{k}$-1，∴M（$\frac{（1-k）^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$-1）．
由已知SA=SB，∴直线SB的斜率为-k，
∴N（$\frac{（1+k）^{2}}{{k}^{2}}$，-$\frac{1}{k}$-1），∴k_MN=-$\frac{1}{2}$
设直线MN的方程为y=-$\frac{1}{2}$x+b，即x+2y-2b=0，b∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}}$），
与抛物线方程联立，消去x，可得y²+2y-2b=0，
∴|MN|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{4+8b}$=2$\sqrt{5}$•$\sqrt{1+2b}$，
S到直线MN的距离d=$\frac{|3-2b|}{\sqrt{5}}$，
∴S_△SMN=$\frac{1}{2}•2\sqrt{5}•\sqrt{1+2b}•\frac{|3-2b|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{1+2b}$（3-2b），
令t=$\sqrt{1+2b}$，t∈（0，2），S_△SMN=t（4-t²），
S_△SMN′=-3t²+4=0，t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，△SMN面积的最大值为$\frac{16\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，涉及到直线与圆锥曲线的相关知识，导数知识的运用，知识综合性强．