Question

已知数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，且满足2S_n=-2a_n+n²-n+2，2b_n=n-2-a_n．
（Ⅰ）求a₁、b₁的值，并证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定实数λ的值，使数列是等差数列．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在2S_n=-2a_n+n²-n+2，2b_n=n-2-a_n令n=1代入求得a₁、b₁的值，根据，求得数列{a_n}通项公式，代入2b_n=n-2-a_n，根据等比数列的定义，证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求得数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，利用等差数列的定义求得实数λ的值，使数列是等差数列．
解答：解：
（Ⅰ）证明：由已知，得2a₁=-2a₁+1-1+2
∴a₁=
∴b₁=-
由2S_n=-2a_n+n²-n+2，得2S_n+1=-2a_n+1+（n+1）²-（n+1）+2
两式作差得：2a_n+1=a_n+n．
∴．
∴数列{b_n}是以-为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=-（）^n-1，
∴T_n=
∵2b_n=n-2-a_n
∴a_n=n-2-2b_n⁼+n-2
∴
∵数列{}是等差数列的充要条件是=An+B（A、B为常数）
即T_n+λS_n=An²+Bn
又-
∴当且仅当即时
数列{}是等差数列．
点评：考查等比数列的定义和前n项和公式，及根据求得数列{a_n}通项公式，体现分类讨论的思想方法，利用等差数列的定义探讨参数λ的值，增加了试题的难度，属中档题．