题目内容

函数f（x）=A-Asinϕ（x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P（，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（，0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间[]上的对称轴的方程．
【答案】分析：（1）根据所给的三角函数的形式，利用二倍角公式把三角函数整理成y=Asin（2ωx+ϕ），根据所给的两个点，看出周期和振幅，代入一个点的坐标和初相的范围求出初相，得到三角函数的解析式．
（2）根据正弦函数的对称轴的表示形式，把等于对称轴表示的形式，根据对称轴要求的范围，求出结果．
解答：解：（1）∵f（x）=A（sin2ωxcosϕ+2cos2ωx•sinϕ）-Asinϕ=Asin（2ωx+ϕ），
∵图象在y轴右侧的第一个最高点为P（，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（，0）．
∴  
∴T=2  
∴
将点代入y=2sin（πx+φ）得：，即，k∈z
所以，
∵|ϕ|＜
∴
∴函数的表达式为
（2）根据正弦函数的对称轴得到

解得：．
∵，解得
由于k∈Z，所以k=5
所以函数f（x）在区间上的对称轴的方程为．
点评：本题考查根据所给的确定三角函数的解析式，考查对三角函数进行恒等变形，考查三角函数的对称性，本题解题的关键是确定三角函数的解析式，特别是对于初相的确定是一个难点，本题是一个中档题目．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）=alnx，g(x)=
1
2
x2．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；
（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)-f′(x0)＞g′(x0)+
1
g′(x0)
成立，求a的取值范围．
下面对命题“函数f（x）=x+
1
x
是奇函数”的证明不是综合法的是（　　）
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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