Question

15．已知α是△ABC的一个内角，且$sinα+cosα=\frac{1}{5}$，
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）求sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把所给的等式平方可得 sinαcosα=-$\frac{12}{25}$＜0，可得α为钝角，故△ABC为钝角三角形．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinα-cosα=$\sqrt{{（sinα-cosα）}^{2}}$，计算求得结果．

解答 解：（Ⅰ）∵α是△ABC的一个内角，且$sinα+cosα=\frac{1}{5}$，
∴平方可得1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，∴sinαcosα=-$\frac{12}{25}$＜0，
∴α为钝角，故△ABC为钝角三角形．
（Ⅱ）由以上可得sinα-cosα=$\sqrt{{（sinα-cosα）}^{2}}$=$\sqrt{1-2sinαcosα}$=$\sqrt{\frac{49}{25}}$=$\frac{7}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角公式，属于基础题．