Question

13．若对任意x∈（0，π），不等式e^x-e^-x＞asinx恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-2，2]
• B． （-∞，e]
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 令f（x）=e^x-e^-x-asinx，分a≤0，0＜a≤2，a＞2三类讨论，利用导数判断函数的单调性，可判断得：当a≤0时，f（x）＞0；当a＞0时，f′（x）=e^x+e^-x-acosx，①0＜a≤2，利用导数f′（x）＞0⇒f（x）在（0，π）上单调递增，于是f（x）＞f（0）=0，满足题意；②若a＞2时，令g（x）=e^x+e^-x-acosx可判断出g（x）=f′（x）=e^x+e^-x-acosx在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，x∈（0，x₀）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，x₀）上单调递减，于是有f（x）＜f（0）=0不满足题意，可得答案．

解答 解：令f（x）=e^x-e^-x-asinx，
当a≤0时，∵x∈（0，π），∴e^x＞e^-x，sinx＞0，∴e^x-e^-x＞0，-asinx≥0，∴f（x）＞0；
当a＞0时，f′（x）=e^x+e^-x-acosx，
①若0＜a≤2，∵x∈（0，π），∴e^x+e^-x＞2，acosx＜a≤2，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，π）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，满足题意；
②若a＞2时，f′（0）=2-a＜0，f′（$\frac{π}{2}$）＞0，∴存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），使得f′（x₀）=0．
令g（x）=e^x+e^-x-acosx，∵g′（x）=e^x-e^-x+asinx在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，∴g′（x）＞g′（0）=0，
∴g（x）=f′（x）=e^x+e^-x-acosx在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，∴x∈（0，x₀）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，x₀）上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0不满足题意．
综上所述，a∈（-∞，2]，
故选：C．

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，利用导数判断函数的单调性是难点，属于难题．