题目内容
如图,已知三棱锥
的侧棱
两两垂直,且
,
,
是
的中点.(1)求
点到面
的距离；(2)求二面角
的正弦值.
(1)
;(2)
.
解析试题分析：（1）先建系写出各点坐标，求面ABC的法向量
，然后求
；（2）先求面EAB的法向量
，再求
，然后结合图形判断二面角E-AB-C的范围，得其余弦值的正负.
试题解析：(1)取
的中点
,连
、
∵
，则
、
∴
面
.过点O作
于H，
则
面,
的长就是所要求的距离.
3分
∵
、
,∴
平面
，则
.
,在直角三角形中,有
6分
（另解:由
知，
）
(2)连结
并延长交
于
,连结
、
.
∵
面OAB，∴
.又∵面ABC，∴
，
，
则
就是所求二面角的平面角. 9分
作
于
,则
在直角三角形
中,
在直角三角形
中,
12分 
,故所求的正弦值是 14分
方法二: (1)以为原点,
、、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系.
则有
、
、
、
2分
设平面的法向量为
则由
知：
；
由
知：
.取
, 4分
则点
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中，底面
是矩形，
底面
是
的中点，已知
，
，
，
的面积；（II）三棱锥
的体积
的底面
是边长为
的正方形，
底面
，且
．
平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．
中，
为
的中点，沿
将三角形
折起，使
.
；
与平面
所成角的正弦值.
中，
底面
，面
为侧棱
上一点，
为
上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．
的体积；
∥平面
；
平面
．
中， 
是
上的点且
为
中
边上的高.
平面
；
；
上是否存在点
，使
平面
？说明理由.
所在的平面与正方形
所在的平面相互垂直，
、
分别是
、
的中点．
面
；
与平面
所成的角正弦值．
中，
，
平面
，
分别是直线
上的点，且
平面角的余弦值
为何值时，平面
平面
的方向相同时，画出四棱锥
的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
的体积.