Question

3．已知动点M到点F（1，0）的距离与M到定直线x+1=0的距离相等，动点M的轨迹为C，过点F且倾斜角等于45°的直线与轨迹C交于A、B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积等于（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意得点M到点F（1，0）的距离等于M到直线x=-1的距离，根据抛物线定义，可得点M的轨迹是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，求出点M的轨迹方程；算出直线AB的方程为y=x-1，与抛物线方程联解，消去y可得y²-4y-4=0．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用一元二次方程根与系数的关系算出|y₁-y₂|=4$\sqrt{2}$，再根据三角形面积公式加以计算，可得△AB0的面积．

解答 解：设M（x，y），
∵动点M到点F（1，0）的距离与M到定直线x+1=0的距离相等，
∴点M到点F（1，0）的距离等于M到直线x=-1的距离，
由抛物线定义得：点M的轨迹是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线
设抛物线方程为y²=2px（p＞0），可得$\frac{p}{2}$=1，p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x，即为点M的轨迹方程；
∵直线的倾斜角为45°，
∴直线的斜率k=tan45°=1，
可得直线的方程为y=1×（x-1），即y=x-1．
与y²=4x联立，消去x，整理得y²-4y-4=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4，y₁y₂=-4，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{16-4×（-4）}$=4$\sqrt{2}$，
因此，△AB0的面积S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×1×4\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题求动点M的轨迹方程，并依此求满足条件的△AB0的面积．着重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．