Question

在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切，求
（1）动圆的圆心轨迹方程L;
（2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。

Answer 1

⑴,动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程
⑵   

（1）由可得
由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为, 则有
整理得到动圆圆心轨迹方程 。 ……………………（5分）
另解 由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程
，即…………………（5分）
（2）联立方程组               ①
      ②
消去得    ，
由 整理得
                ③
从③可知 。 故令，代入③可得

 再令，代入上式得
         …………………（10分）
同理可得，。可令代入③可得
              ④
对④进行配方，得  
对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，所以。令，则 。
所以              …………………………………（15分）
仅当时，为完全平方数。于是解得
       。 …………………（20分）