Question

如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=

1

3

BC，CE=

1

3

CA，AD，BE相交于点P．求证：
（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；
（Ⅱ）AP⊥CP．

Answer 1

考点：圆內接多边形的性质与判定

专题：直线与圆

分析：（I）由已知条件推导出△ABD≌△BCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆．
（II）连结DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，由此能证明AP⊥CP．

解答： 证明：（I）在△ABC中，由BD=

1

3

BC，CE=

1

3

CA，知：
△ABD≌△BCE，…（2分）
∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．
所以四点P，D，C，E共圆．…（5分）
（II）如图，连结DE．
在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，
由正弦定理知∠CED=90°．…（8分）
由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，
所以AP⊥CP．…（10分）

点评：本题考查四点共圆的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．