Question

17．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为$\frac{π}{3}$，设直线l与曲线C相交于A，B两点，则|PA|•|PB|的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数θ可得普通方程：x²+y²-2x-4y-11=0．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=5+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入到圆C的方程可得：t²+（3+2$\sqrt{3}$）t-3=0，设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，由直线标准参数方程下t的几何意义知：|PA|•|PB|=|t₁t₂|．

解答 解：曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数θ可得：（x-1）²+（y-2）²=16．展开为：
x²+y²-2x-4y-11=0．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=5+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入到圆C的方程可得：t²+（3+2$\sqrt{3}$）t-3=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=-3．
点P（3，5）显然在直线l上，
由直线标准参数方程下t的几何意义知：|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3，
所以|PA|•|PB|=3．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．