Question

已知函数f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-

π

2

，0]时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．

Answer 1

分析：（1）根据倍角公式和两角和的正弦公式对解析式化简，再由周期公式求解；
（2）由x的范围求出“2x+

π

4

”的范围，再由正弦函数的单调性判断出单调区间，从而求出最小值以及对应的x的集合．

解答：解：（1）由题意得f（x）=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
则函数的周期为：T=

2π

2

=π，
（2）当x∈[-

π

2

，0]时，2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，
则f（x）在[-

3π

4

，-

π

2

]上递减，在[-

π

2

，

π

4

]上递增
，所以当2x+

π

4

=-

π

2

时，f（x）取最小值-

2

，
此时x的集合为{-

3π

8

}．

点评：本题考查了三角恒等变换及正弦函数的性质的应用，关键是正确对解析式进行化简，属于中档题．