题目内容
（2009•大连一模）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=x2-2x，实数|x-a|＜1．求证：|f（x）-f（a）|＜2|a|+3．
设函数f（x）=x2-2x，实数|x-a|＜1．求证：|f（x）-f（a）|＜2|a|+3．
分析：利用由条件，通过绝对值分解因式，利用|x-a|＜1以及绝对值三角不等式，推出结果即可．
解答：证明：因为函数f（x）=x2-2x，实数|x-a|＜1，
所以：|f（x）-f（a）|=|x2-2x+2a|=|x-a||x+a-2|（5分）
＜|x+a-2|=|（x-a）+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|＜1+|2a|+2=2|a|+3
∴|f（x）-f（a）|＜2|a|+3． （10分）
所以：|f（x）-f（a）|=|x2-2x+2a|=|x-a||x+a-2|（5分）
＜|x+a-2|=|（x-a）+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|＜1+|2a|+2=2|a|+3
∴|f（x）-f（a）|＜2|a|+3． （10分）
点评：本题考查绝对值三角不等式证明不等式的应用，二次函数的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．
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