Question

1．证明：$\root{n}{a}-1＜\frac{a-1}{n}$ （其中（a＞1，n∈N^*且n≥2）

Answer 1

分析 利用二项式定理可知$（1+\frac{a-1}{n}）^{n}$=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$•$\frac{a-1}{n}$+${C}_{n}^{2}$•$（\frac{a-1}{n}）^{2}$+…+${C}_{n}^{n}$•$（\frac{a-1}{n}）^{n}$，放缩、整理即得结论．

解答 证明：∵a＞1，
∴a-1＞0，
∴$（1+\frac{a-1}{n}）^{n}$=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$•$\frac{a-1}{n}$+${C}_{n}^{2}$•$（\frac{a-1}{n}）^{2}$+…+${C}_{n}^{n}$•$（\frac{a-1}{n}）^{n}$
＞${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$•$\frac{a-1}{n}$
=1+n•$\frac{a-1}{n}$
=a，
∴1+$\frac{a-1}{n}$＞$\root{n}{a}$，即$\root{n}{a}-1＜\frac{a-1}{n}$．

点评 本题考查不等式的证明，涉及二项式定理，注意解题方法的积累，属于中档题．