Question

11．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{5}{2}-\frac{1}{{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$．
（1）求证：数列{b_n+$\frac{2}{3}$}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把已知递推式变形，取倒数后转化为b_n+1=4b_n+2，然后利用构造法证得数列{b_n+$\frac{2}{3}$}是等比数列；
（2）由（1）求出该等比数列的通项公式后得到b_n，代入b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$求得数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：由a_n+1=$\frac{5}{2}-\frac{1}{{a}_{n}}$，得a_n+1-2=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}}$，
则$\frac{1}{{a}_{n+1}-2}=\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}-2}$=$\frac{4}{{a}_{n}-2}+2$，
∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$，
∴b_n+1=4b_n+2，
则${b}_{n+1}+\frac{2}{3}=4（{b}_{n}+\frac{2}{3}）$，
∵${b}_{1}=\frac{1}{{a}_{1}-2}$=-1，∴${b}_{1}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}≠0$．
∴$\frac{{b}_{n+1}+\frac{2}{3}}{{b}_{n}+\frac{2}{3}}$=4．
∴数列{${b}_{n}+\frac{2}{3}$}构成以4为公比的等比数列；
（2）由（1）得：${b}_{n}+\frac{2}{3}=（-\frac{1}{3}）•{4}^{n-1}$．
∴${b}_{n}=-\frac{1}{3}•{2}^{2n-2}-\frac{2}{3}$，
由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$，得${a}_{n}=2+\frac{1}{{b}_{n}}=2-\frac{3}{{2}^{2n-2}+2}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了数列构造法，解答的关键是把已知递推式变形，是中档题．