Question

如图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．

(1) 求、及数列的通项公式；
(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式；
(3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N.

Answer 1

(1) 解:由，设直线的斜率为，则.
∴直线的方程为.令，得，          ……2分
∴， ∴.
∴.
∴直线的方程为.令，得.        ……4分
一般地，直线的方程为，
由于点在直线上，
∴.
∴数列是首项为，公差为的等差数列.
∴.                                             ……6分
（2）解：
.      ……8分
（3）证明：.…10分
∴，.
要证明，只要证明，即只要证明。 11分
证法1：（数学归纳法）
① 当时，显然成立；
② 假设时，成立，
则当时，，
而.
∴.
∴.
这说明，时，不等式也成立.
由①②知不等式对一切N都成立.       ……14分
证法2:
.
∴不等式对一切N都成立.       ……14分
证法3:令,
则,
当时, ,
∴函数在上单调递增.
∴当时, .
∵N,
∴, 即.
∴.
∴不等式对一切N都成立.  

略