Question

18．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线l：$\sqrt{3}x+y-4=0$相切，且圆O与坐标轴x正半轴交于A，y正半轴交于B，点P为圆O上异于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值及点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点到直线的距离公式求出O到直线$\sqrt{3}x+y-4=0$的距离，即圆的半径，代入圆的标准方程得答案；
（Ⅱ）由圆的方程求出A，B的坐标，设出P的坐标，把$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$转化为三角函数求最值．

解答 解：（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得，圆心O到直线$\sqrt{3}x+y-4=0$的距离r=$\frac{|-4|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}=2$．
∴圆O的方程：x²+y²=4；
（Ⅱ）由圆的方程可得A（2，0），B（0，2），
设P（x，y）=（2cosθ，2sinθ）（θ≠0，$\frac{π}{2}$），则
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（2-x，-y）•（-x，2-y）={x^2}-2x+{y^2}-2y$
=4cos²θ-4cosθ+4sin²θ-4sinθ
=$4-4\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$．
∴当θ$+\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$，即θ=$-\frac{3}{4}π+2kπ$，k∈Z时，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$取得最大值$4+4\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的标准方程，训练了点到直线距离公式的应用，考查利用圆的参数方程求最值，是中档题．