Question

设a，b分别是方程log₂x+x-3=0和2^x+x-3=0的根，则a+b=________log₂a+2^b=________．

Answer 1

3    3
分析：构造函数y₁=log₂x，y₂=2^x，y=-x+3，则由y=2^x与y=log₂x的图象关于y=x对称可得，y=log₂x与y=-x+3的交点与y=2^x与y=-x+3的交点关于y=x对称，且对称点是y=-x+3与y=x的交点，求出对称点即可求解
解答：解：令y₁=log₂x，y₂=2^x，y=-x+3
由互为反函数的性质可得，y=2^x与y=log₂x的图象关于y=x对称
因为y=log₂x与y=-x+3的交点与y=2^x与y=-x+3的交点关于y=x对称，且对称点是y=-x+3与y=x的交点
由可得x=y=，即对称点（）
a+b=3，log₂a+2^b=3
故答案为：3，3
点评：本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及函数与方程的相互转化，体现了数形结合的思想及转化思想在解题中的应用．