题目内容
设A，B分别是直线y=
x和y=-
x上的两个动点，并且|
|=
，动点P满足
=
+
，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M，N是曲线C上的两个动点，并且
=λ
，求实数λ的取值范围；
（3）M，N是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点E（0，y0），求y0的取值范围．
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| AB |
| 20 |
| OP |
| OA |
| OB |
（1）求曲线C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M，N是曲线C上的两个动点，并且
| DM |
| DN |
（3）M，N是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点E（0，y0），求y0的取值范围．
分析：（1）利用
=
+
，确定P，A，B坐标之间的关系，根据|
|=
，可得曲线C的方程；
（2）由
=λ
可得N，M坐标之间的关系，利用M，N在曲线C上，结合λ≠0，λ≠1，即可求实数λ的取值范围；
（3）设直线MN的方程，求出直线l的方程，由E（0，y0）在直线l上，确定y0的表达式，从而可求y0的取值范围．
| OP |
| OA |
| OB |
| AB |
| 20 |
（2）由
| DM |
| DN |
（3）设直线MN的方程，求出直线l的方程，由E（0，y0）在直线l上，确定y0的表达式，从而可求y0的取值范围．
解答：解：（1）设P(x，y)，A(x1，
x1)，B(x2，-
x2)．
∵
=
+
，∴
∴
，
又|
|=
，∴
y2+
x2=20，即所求曲线方程为
+
=1；
（2）设N（s，t），M（x，y），则由
=λ
可得（x，y-16）=λ（s，t-16）
故x=λs，y=16+λ（t-16）
∵M，N在曲线C上，∴
，
消去s，得
+
=1，由λ≠0，λ≠1解得t=
，
又|t|≤4，∴
≤λ≤
且λ≠1；
（3）设直线MN为y=kx+b（k≠0），则
得：（25k2+16）x2+50kbx+25（b2-16）=0
由△＞0解得：b2＜25k2+16①，且
=-
，
=-
则直线l为y-
=-
(x+
)，
由E（0，y0）在直线l上，∴y0=
②
由①②得y02＜
＜
∴-
＜y0＜
．
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
∵
| OP |
| OA |
| OB |
|
|
又|
| AB |
| 20 |
| 5 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
（2）设N（s，t），M（x，y），则由
| DM |
| DN |
故x=λs，y=16+λ（t-16）
∵M，N在曲线C上，∴
|
消去s，得
| λ2(16-t2) |
| 16 |
| (λt-16λ+16)2 |
| 16 |
| 17λ-15 |
| 2λ |
又|t|≤4，∴
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 3 |
（3）设直线MN为y=kx+b（k≠0），则
|
得：（25k2+16）x2+50kbx+25（b2-16）=0
由△＞0解得：b2＜25k2+16①，且
| x1+x2 |
| 2 |
| 25kb |
| 25k2+16 |
| y1+y2 |
| 2 |
| 16b |
| 25k2+16 |
则直线l为y-
| 16b |
| 25k2+16 |
| 1 |
| k |
| 25kb |
| 25k2+16 |
由E（0，y0）在直线l上，∴y0=
| -9b |
| 25k2+16 |
由①②得y02＜
| 81 |
| 25k2+16 |
| 81 |
| 16 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．
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