Question

设A，B分别是直线y＝和y＝上的两个动点，并且||＝，动点P满足＝＋．记动点P的轨迹为C．

(1)求轨迹C的方程；

(2)M，N是曲线C上的任意两点，且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点E(0，y₀)，求y₀的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)设P(x，y)，因为A、B分别为直线y＝x和y＝－x上的点，故可设A(x1，x1)，B(x2，x2)． 　　∵＝＋，∴ 　　∴又||＝， 　　∴(x1－x2)2＋(x1＋x2)＝20． 　　∴y2＋x2＝20．即曲线C的方程为＝1． 　　(2)设直线MN为y＝kx＋b(k≠0)，则消去y，得(25k2＋16)x2＋50kbx＋25(b2－16)＝0．(*)由于M、N是曲线C上的任意两点， 　　∴Δ＝(50kb)2－4×25(25k2＋16)(b2－16)＞0．即25k2b2－(25k2＋16)(b2－16)＞0．∴b2＜25k2＋16．①由(*)式可得．，则直线l为 　　．由于E(0，y0)在上，∴y0＝．②由②得，代入①得．∴－＜y0＜．即y0的取值范围是(－，)．