Question

（2006•东城区一模）设A，B分别是直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的两个动点，并且|

AB

|=

20

，动点P满足

OP

=

OA

+

OB

．记动点P的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）M，N是曲线C上的任意两点，且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点E（0，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

分析：（ I）设P（x，y），由于A、B分别为直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的点，故可设A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2，-

2 5

5

x2)．再利用向量的运算和向量模的计算公式即可得出；
（II）把直线MN的方程与椭圆方程联立可得△＞0及其根与系数的关系，再利用线段的垂直平分线的性质和二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（ I）设P（x，y），因为A、B分别为直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的点，
故可设A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2，-

2 5

5

x2)．
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2)

∴

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y

，
又|

AB

|=

20

，
∴(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20．
∴

5

4

y2+

4

5

x2=20．
即曲线C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．
（ II）设直线MN为y=kx+b（k≠0）．
则

x2 25 + y2 16 =1 y=kx+b.

消去y，得  （25k²+16）x²+50kbx+25（b²-16）=0．（*）
由于M、N是曲线C上的任意两点，
∴△=（50kb）²-4×25（25k²+16）（b²-16）＞0．
即25k²b²-（25k²+16）（b²-16）＞0．
∴b²＜25k²+16．             ①
由（*）式可得

x1+x2

2

=-

25kb

25k2+16

，

y1+y2

2

=

16b

25k2+16

．
则直线l为　　y-

16b

25k2+16

=-

1

k

(x+

25kb

25k2+16

)．
由于E（0，y₀） 在l上，
∴y0=

-9b

25k2+16

．              ②
由②得    

y

2 0

=

81b2

(25k2+16)2

代入①得

y

2 0

＜

81

25k2+16

＜

81

16

．
∴-

9

4

＜y0＜

9

4

．
即y₀的取值范围是（-

9

4

，

9

4

）．

点评：熟练掌握直线与椭圆相交问题把直线MN的方程与椭圆方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、线段的垂直平分线的性质和二次函数的单调性、向量的运算和向量模的计算公式等是解题的关键．