Question

11．随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民的休闲方式是否与性别有关，得到下面的数据表：

休闲方式 性别	看电视	运动	合计
男性	20	10	30
女性	45	5	50
合计	65	15	80

（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人是以运动为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；
（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为休闲方式与性别有关系？

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$），其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）由 题 意 知随机变量X的可能取值，根据题意得X～B（3，$\frac{1}{3}$），计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；
（2）计算K²，对照临界值表得出结论．

解答 解：（1）由 题 意 可 知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
且 每 个 男 性 以 运 动 为 休 闲 方 式 的 概 率 为 P=$\frac{10}{30}$=$\frac{1}{3}$，
根 据 题 意 可 得 X～B（ 3，$\frac{1}{3}$），
∴P（ X=k）=${C}_{3}^{k}$•${（\frac{2}{3}）}^{3-k}$•${（\frac{1}{3}）}^{k}$，k=0，1，2，3，
故 X 的 分 布 列 为

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

数学期望为E（ X）=3×$\frac{1}{3}$=1；
（2）计算K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{80{×（20×5-45×10）}^{2}}{30×50×65×15}$=$\frac{784}{117}$≈6.70，
因 为 6.700＞6.635，
所 以 我 们 有 99%的 把 握 认 为 休 闲 方 式 与 性 别 有 关．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是中档题．