Question

（本题满分13分）已知函数

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：

Answer 1

（1） 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，不是单调函数；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）;（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导，对不同的取值进行讨论确定导数在相应区间上的符号，从而可求得单调区间.（2）因为函数在点点处的切线的倾斜角为，可求出的值，求函数的导数，任意的，函数在区间上总不是单调函数等价于可求的取值范围.（3）因为，所以要证结论成立，只要证即即可，由（1）可知在上单调递增，所以当时，，即对一切成立，所以，则有可证结论成立.

试题解析：（1），

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，不是单调函数；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 4分

（2）由，得，

，

所以，

所以，

因为在区间上总不是单调函数，且，所以，

由题意知，对于任意的，恒成立，

所以，解得，

故实数的取值范围是 9分

（3）令，所以，

所以，

由（1）知在上单调递增，

所以当时，，

即，

所以对一切成立，

因为，则有，

所以，

故 13分

考点：函数与导数、导数的几何意义、函数的单调性、不等式证明.