Question

已知a，b，c分别为三角形内角A，B，C所对的边，并满足S=

1

4

（b²+c²-a²）．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求bc的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用三角形面积公式列出关系式，代入已知等式，变形得到关系式，再利用余弦定理列出关系式，比较求出tanA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入利用基本不等式求出bc的最大值即可．

解答： 解：（1）由三角形面积公式可知S=

1

2

bcsinA，
∵S=

1

4

（b²+c²-a²），
∴

1

2

bcsinA=

1

4

（b²+c²-a²），即2bcsinA=b²+c²-a²，
∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

，即2bccosA=b²+c²-a²，
∴sinA=cosA，即tanA=1，
则A=45°；
（2）由余弦定理得：2bccosA=b²+c²-a²，
将a=2代入得：

2

bc=b²+c²-4≥2bc-4，
∴（2-

2

）bc≤4，
则bc≤

4

2- 2

=4+2

2

．

点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．