Question

【题目】设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则

①是函数的一个周期；

②函数在上是减函数，在上是增函数；

③函数的最大值是，最小值是；

④是函数的一个对称轴；

其中所有正确命题的序号是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由题意可得：函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，从而可得到是函数的一个周期且是函数的一个对称轴，结合周期性可得到函数在上的单调性，根据单调性可求出函数的最值.

，

，

所以是函数的一个周期；即①正确；

当时，，

则在上为增函数，

因为函数是定义在上的偶函数，

所以函数在上为减函数，

结合①中函数的周期性，

可得函数在上是减函数，在上是增函数；即②正确；

结合①②的周期性和单调性，

当为奇数时，函数的最大值是，

当为偶数时，函数的最小值是；即③不正确；

因为且函数是定义在上的偶函数，

所以；即④正确；

故答案为：①②④