题目内容
【题目】在
展开式的全体系数中，有多少个7的倍数？
【答案】1722
【解析】
将问题一般化.
先证明一个引理.
引理 设
为正整数，
为素数，
.若在的进制表达式的各位数码中，共有
个1，
个2，…，
个
，则在
展开式的各系数中，的倍数的个数为
.
证明 先求集合
中与互素的元素个数.
记
.
因为为素数，
，所以，
.而
，
故
，
其中，
表示不超过实数
的最大整数.
注意到，对每个
均有
.
故
. ①
设
，
，其中，
、
、
.
由式①依次得
，
.
对于上面每一式
，可以取0，1，…，
共
个值，故在集合
中，使得的
有
个.
若的进制表示
的各位数码
中，共有个1，个2，…，个，则
，即集合中有
个数与互素.
从而，在集合中有个数为的倍数.
回到原题.
由2015的七进制表达式为
，其数码中有一个5，两个6，则在
展开式的各系数中，7的倍数有
（个）.
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