Question

选修4-1；几何证明选讲
如图，PA为⊙O的切线，PB为过圆心O的割线，PA=AB，以AB为直径的圆交PB于C，交PA的延长线于D．
（Ⅰ）求证：AC=AD；
（Ⅱ）若PA=4，求⊙O的直径．

Answer 1

（Ⅰ）如图，连OA，因AB为圆O′的直径，有BD⊥PD，


又PA为圆O的切线，A为切点，有OA⊥PD，
故OA∥BD，∠1=∠3，
又OA=OB，可知∠1=∠2，所以∠2=∠3，
在圆O′中，

AC

=

AD

，于是AC=AD．   
（Ⅱ）因PA=AB，故∠P=∠2=∠3，在Rt△BDP中，
∠P+∠2+∠3=90°，所以∠P=∠2=30°，
故OE=OA=

1

2

OP．
设⊙O的直径为R，则PE=R，PB=3R，于是PA²=PE•PB=3R²=16
可得R=

4 3

3

，故⊙O的直径为

8 3

3

．