Question

【题目】已知函数f（x）=ex（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[ ，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（ ）
A.（﹣∞， ）
B.（﹣∞， ）
C.（﹣ ， ）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=ex（x﹣b），

∴f′（x）=ex（x﹣b+1），

若存在x∈[ ，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，

则若存在x∈[ ，2]，使得ex（x﹣b）+xex（x﹣b+1）＞0，

即存在x∈[ ，2]，使得b＜ 成立，

令g（x）= ，x∈[ ，2]，

则g′（x）= ＞0，

g（x）在[ ，2]递增，

∴g（x）最大值=g（2）= ，

故b＜ ，

故选：A

【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．