Question

【题目】规定：点P（x，y）按向量 平移后的点为Q（x+a，y+b）．若函数 的图象按向量 =（j，k）且|j| 平移后的图象对应的函数是 +1．
（1）试求向量 的坐标；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（2A）+2cos（B+C）=1， ①求角A的大小；
②若a=6，求b+c的取值范围．
另外：最后一小题也可用“余弦定理结合基本不等式”求解．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数 的图象按向量 =（j，k）且|j| 平移后的图象对应的函数是 +1=sin （x+ ）+1．

∴ =（ ，1）．

（2）解：①在△ABC中，

∵已知f（2A）+2cos（B+C）=sin （2A+ ）+1﹣2cosA=1，

∴sin（A+ ）﹣2cosA=0，

即sinAcos +cosAsin =2cosA，∴tanA= ，∴A= ．

②△ABC中，∵由正弦定理可得 = = = ，∴b=4 sinB，c=4 sinC，

∴b+c=4 （sinB+sinC）=4 [sinB+sin（ ﹣B）]

=4 （sinB+sin cosB﹣cos sinB）=4 （ sinB+ cosB）

=12（ sinB+ cosB）=12sin（B+ ）．

∵0＜B＜ ，∴ ＜B+ ＜ ，

∴sin（B+ ）∈（ ，1]，∴b+c=12sin（B+ ）∈（6，12]．

【解析】（1）由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．（2）①利用同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式，求得tanA的值，可得A的值．②利用正弦定理，三角恒等变换化简b+c为 12sin（B+ ），再利用正弦函数的定义域和值域，求得 12sin（B+ ）的值域．
【考点精析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换对题目进行判断即可得到答案，需要熟知图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．