Question

【题目】椭圆中心为坐标原点O,对称轴为坐标轴,且过M（2， ） ，N(,1)两点，

（I）求椭圆的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

Answer 1

【答案】（1） （2） ，

【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率及过点过M（2， ） ，N(,1)列出方程组求出，由此能求出椭圆的方程．
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为与椭圆联立，得 由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出的取值范围．

试题解析：（1）

（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，与联立消y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0

当△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0

因为，所以

所以3m2﹣8k2﹣8=0，由△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0 得

△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0

代入化简得

又y=kx+m与圆心在原点的圆相切，所以所求圆 ，直线AB斜率不存在时也满足.

当 时， ，当 时， ，即