Question

【题目】已知双曲线的焦点是椭圆： 的顶点， 为椭圆的左焦点且椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右顶点作斜率为（）的直线交椭圆于另一点，连结并延长交椭圆于点，当的面积取得最大值时，求的面积.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）根据题意，求出双曲线的焦点坐标，即可得椭圆的顶点坐标，可得a的值，将点的坐标代入椭圆的方程可得，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；

（2）根据题意，设直线AB的方程为，与椭圆的方程联立，可得，分析可以用k表示△AOB的面积，由基本不等式的性质分析可得答案．

试题解析：

（1）由已知，得，

所以的方程为.

（2）由已知结合（1）得， ，

所以设直线： ，联立： 得，

得，

，

当且仅当，即时， 的面积取得最大值，

所以，此时，

所以直线： ，联立，解得，

所以.