Question

【题目】已知函数，．

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）设，试讨论函数的单调性；

（3）当时，若存在正实数满足，求证：．

Answer 1

【答案】（1）1（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，根据求出a的值，再进行检验；

（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性；；

（3）结合已知条件与对数的运算性质，得．令，构造函数，然后利用导数判断函数单调性得，进而得证．

（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得．

验证：当时，，易得在处取得极大值．

（2）因为，

所以．

①若，则当时，，所以函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减．

②若，，

当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；

当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减．

（3）证明：当时，，

因为，所以，

即，所以．

令，，则，

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增．

所以函数在时，取得最小值，最小值为． 所以，

即，所以或．

因为为正实数，所以．

当时，，此时不存在满足条件，

所以．