Question

已知函数的定义域为，对定义域内的任意x，满足，当时，（a为常），且是函数的一个极值点，
(1)求实数a的值；
(2)如果当时，不等式恒成立，求实数m的最大值；
(3)求证：

Answer 1

(1)；(2)2；(3)详见解析.

试题分析：(1)利用为奇函数，所以设，利用，求出时的，然后再求时的，再根据，求出，验证所求能够使是函数的一个极值点；(2)不等式恒成立，转化为恒成立，设，即求的最小值，求,再设,易求,当时，为增函数，最小， ，即逐步分析为单调递增函数，从而求得最小值.(3)通过代入(2)式恒成立不等式，变形放缩后得到,为出现(2)要证形式，所以令,则,然后将k=1,2,  n,代入上式，累加，从而得出要证不等式.此题综合性较强.
试题解析：(1)由题知对定义域内任意，，为奇函数，
当时，，，
当时，
由题知：，解得，经验证，满足题意.
(2)由(1)知
当时，，令
则时，恒成立，转化为在恒成立.

令，，则，
当时，，在上单调递增.

当时，，在单调递增.

则若在恒成立，则
的最大值2.
(3)由(2)知当时，有，即
则
令，则
当时，；当时，；当时，；
当时，
将以上不等式两端分别相加得：

即.