Question

5．求与椭圆4x²+9y²=36有相同的焦距，且离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$的椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 设要求的椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）.$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．由椭圆4x²+9y²=36化为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得c．可得a，b²=a²-c²．即可得出．

解答 解：设要求的椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）.$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
由椭圆4x²+9y²=36化为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得c=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$．
∴a=5，b²=a²-c²=20．
∴要求的椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．