Question

定义在R⁺上的函数f（x），g（x）满足函数f（x）=x²-alnx在[1，2]上为增函数，g（x）=x-a在（0，1）为减函数．
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）当b＞-1时，若f（x）≥2bx-在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）f（x）=x²-alnx在[1，2]上为增函数，f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，得出2x²-a≥0在[1，2]上恒成立，a≤2，同理g（x）=x-a在（0，1）为减函数．得出a≥2，所以a=2
（Ⅱ）f（x）≥2bx-在x∈（0，1]内恒成立，即即x²-2lnx≥2bx-在x∈（0，1]内恒成立，分离b得出b≤，令h（x）=，需b≤h（x）min，利用导数工具求最小值后，便可求得范围．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x-=，由已知，函数f（x）在[1，2]上为增函数，则f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，
即2x²-a≥0在[1，2]上恒成立，即只要a≤2x²在[1，2]上恒成立，（2x²）min=2，∴a≤2
 g′（x）=1-=，g（x）在（0，1）为减函数．则g′（x）≤0在（0，1）恒成立，
即，恒成立．，∴a≥2，
所以a=2
所以f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2．
（Ⅱ）f（x）≥2bx-在x∈（0，1]内恒成立，即x²-2lnx≥2bx-在x∈（0，1]内恒成立，
分离b得出b≤，令h（x）=，需b≤h（x）min
求导得出h′（x）=--
由于x∈（0，1]，所以，，
从而h′（x）=--＜0，
h（x）在（0，1]上单调递减，h（x）≥h（1）=，所以b≤1，又b＞-1，所以1＞b＞-1．
点评：本题考查单调性与导数的关系，分离参数求取值范围，求函数最值及应用．其中（2）题中导数符号不易同分后再判断．考查转化计算，估算能力与实数的性质．