Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ADC=60°，AD=AM=1，PC=2，M为PD的中点．
（1）证明PB∥平面ACM；
（2）求直线AM与直线PC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，BD，交于点O，由已知得OM∥PB，由此能证明PB∥平面ACM．
（2）取CD中点N，连结MN，∠AMN是直线AM与直线PC所成的角，由此利用余弦定理能求出线AM与直线PC．

解答： （1）证明：连结AC，BD，交于点O，
∵底面ABCD为菱形，∴O是BD中点，
连结OM，∵M为PD的中点，
∴OM∥PB，
∵OM?平面ACM，PB不包含于平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
（2）解：取CD中点N，连结MN，
∵M是PD中点，∴MN∥PC，
∴∠AMN是直线AM与直线PC所成的角，
∵AM=AD=1，MN=

1

2

PC=1，
∠ADC=60°，AD=AM=1，
∴AN=

1+ 1 4 -2× 1 2 ×1×cos60°

=

3

2

，
∴cos∠AMN=

1+1- 3 4

2×1×1

=

5

8

，
∴直线AM与直线PC所成角的余弦值为

5

8

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．