Question

【题目】已知定义在上的函数满足以下三个条件：

①对任意实数，都有；

②；

③在区间上为增函数．

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；

（2）求证：；

（3）解不等式．

Answer 1

【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）通过赋值，令，求，再赋值，求得函数是奇函数；

（2）同样是赋值令，，再赋值证明；

（3）根据奇函数和周期性可得函数关于对称，并且在单调递增，在单调递减，再利用赋值，可得，再利用函数性质解不等式.

（1）令 ，

，

， ，

令 ，代入得 ，

，

，，

函数是奇函数.

（2）令 ，

，

，，

，

.

（3）因为函数是上奇函数，所以满足，

又 ，

，函数关于对称，

因为函数在单调递增，并且是奇函数，

在上也是单调递增，

在上单调递减，

令 ，代入可得，

函数关于对称，，

，

解得： 或 ，

在单调递增，且 ，（舍）

，

当 时， ，

又是周期为4的函数，

不等式的解集是.