Question

【题目】已知函数，其中，，.

（Ⅰ）若是偶函数，求实数的值；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅲ）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）单调递增区间为，，单调减区间为：，；（Ⅲ）1.

【解析】

（Ⅰ）根据偶函数的性质，得出，即可求出实数的值；

（Ⅱ）当时，分类讨论去绝对值得出分段函数，画出的图象，根据图象和二次函数的性质，即可得出函数的单调区间；

（Ⅲ）根据题意，由任意，都有恒成立，得出，得出，再分类讨论和，得出的最大值，从而得出的最小值.

解：（Ⅰ）是偶函数，故，

即，

则，解得：.

（Ⅱ）当时，

则，

当时，，对称轴为，

结合图象，易知的单调递增区间为，，

的单调减区间为：，.

（Ⅲ）∵对任意，都有恒成立，

即对任意，都有恒成立，

∴，

且对任意实数，，恒成立，

①当，时，

恒成立，

②当，时，

恒成立，

③当，时，

由恒成立，则，

④当时，对一切时恒成立，

当时，，

∵，∴，

∴，

综上所述，的最小值为1.