Question

设数列{a_n}与{b_n}满足：对任意n∈N⁺，都有ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，b_n=a_n-n•2^n-1．其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）当b=2时，求{b_n}的通项公式，进而求出{a_n}的通项公式；
（2）当b≠2时，求数列{a_n}的通项a_n以及前n项和S_n．

Answer 1

解：由题意知a₁=2，且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，．
两式相减得，
即．①
（1）当b=2时，由①知，
∴=，
又，
所以{}是首项为1，公比为2的等比数列．
可得，，
由，得．
（2）当b≠2时，由①得
-=

若b=0，，；
若b=1，，；
若b≠0，1，数列{}是以为首项，以b为公比的等比数列，
故，
∴，
∴S_n=+
=
=
当b=1时，也符合上式．
所以，当b≠0时，．
分析：（1）由已知利用a_n=S_n+1-S_n可得．当b=2时，可化为=，利用等比数列的通项公式即可得出b_n及a_n；
（2））当b≠2时，由①得，转化为一个等比数列，利用通项公式和前n项和公式即可得出a_n及S_n．
点评：适当变形转化为等比数列，熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键．注意分类讨论的思想方法应用．