Question

（2008•长宁区二模）已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时，值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，值域为[a₃，b₃]，…当x∈[a_n-1，b_n-1]时，值域为[a_n，b_n]，…其中a，b为常数，a₁=0，b₁=1．
（1）若a=1，求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若a＞0，a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值；并求此时[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]；
（3）若a＞0，设数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₈）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₈）的值．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，数列{a_n}与{b_n}的都是公差为b的等差数列，根据a₁=0，b₁=1可求出数列的通项公式；
（2）要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列则

bn

bn-1

为常数，从而求出b，然后求出数列的通项公式，讨论a与1的大小可求出此时[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]；
（3）可先证{b_n-a_n}成等比数列，然后求出其通项公式，讨论a是否为1，再根据等差数列与等比数列分组求出前n项和即可．

解答：解：（1）a=1时，f（x）=x+b单调递增，因此

an=an-1+b bn=bn-1+b

…..…．（3分）∴a_n=（n-1）b，b_n=1+（n-1）b．…．（5分）
（2）∵a＞0，∴f（x）递增，∴b_n=ab_n-1+b，∵

bn

bn-1

=a+

b

bn-1

，由条件

bn

bn-1

为常数，∴b=0，…．（7分）
这时{b_n}是公比为a的等比数列，b_n=a^n-1，∵b=0，a_n=aa_n-1，而a₁=0，∴a_n=0．∴[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]=[0，1]∪[0，a]∪…∪[0，a^n-1]，…..（9分）
当0＜a＜1时，上式=[0，1]；…．…．（10分）
当a＞1时，上式=[0，a^n-1]．…．（11分）
（3）当a＞0时，a_n=a•a_n-1+b，b_n=a•b_n-1+b，∴b_n-a_n=a（b_n-1-a_n-1），∴{b_n-a_n}成等比数列，b₁-a₁=1，∴b_n-a_n=a^n-1．…．（13分）
当a=1时，b_n-a_n=1，∴T_n-S_n=n，∴原式=1+2+…+2008=1004×2009=2017036．…．（15分）
当a≠1时，Tn-Sn=

1-an

1-a

=

1

1-a

-

an

1-a

，…..（16分）∴原式=

2008

1-a

-

1

1-a

•

a(1-a2008)

1-a

=

2008

1-a

-

a(1-a2008)

(1-a)2

．…．（18分）

点评：本题主要考查了等比数列前n项和，以及数列的通项公式，同时考查了计算能力和分类讨论的思想，属于中档题．