Question

（2013•闸北区二模）设数列{a_n}与{b_n}满足：对任意n∈N⁺，都有ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，b_n=a_n-n•2^n-1．其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）当b=2时，求{b_n}的通项公式，进而求出{a_n}的通项公式；
（2）当b≠2时，求数列{a_n}的通项a_n以及前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知利用a_n=S_n+1-S_n可得an+1=ban+2n．当b=2时，可化为an+1-(n+1)•2n=2(an-n•2n-1)，利用等比数列的通项公式即可得出b_n及a_n；
（2））当b≠2时，由①得an+1-

1

2-b

•2n+1=b(an-

1

2-b

•2n)，转化为一个等比数列，利用通项公式和前n项和公式即可得出a_n及S_n．

解答：解：由题意知a₁=2，且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1．
两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1，
即an+1=ban+2n．①
（1）当b=2时，由①知an+1=2an+2n，
∴an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n=2(an-n•2n-1)，
又a1-1×21-1=2-1=1≠0，
所以{an-n•2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．
可得，bn=2n-1，
由bn=an-n•2n-1，得an=(n+1)•2n-1．
（2）当b≠2时，由①得
an+1-

1

2-b

•2n+1=ban+2n-

1

2-b

•2n+1=ban-

b

2-b

•2n=b(an-

1

2-b

•2n)

若b=0，an=

2，n=1 2n-1，n≥2

，Sn=2n；
若b=1，an=2n，Sn=2n+1-2；
若b≠0，1，数列{an-

1

2-b

•2n}是以

2(1-b)

2-b

为首项，以b为公比的等比数列，
故an-

1

2-b

•2n=

2(1-b)

2-b

•bn-1，
∴an=

1

2-b

[2n+(2-2b)bn-1]，
∴S_n=

1

2-b

(2+22+23+…+2n)+

2(1-b)

2-b

(1+b+b2+…+bn-1)
=

1

2-b

×

2(2n-1)

2-1

+

2(1-b)

2-b

×

bn-1

b-1

=

2(2n-bn)

2-b

当b=1时，Sn=2n+1-2也符合上式．
所以，当b≠0时，Sn=

2(2n-bn)

2-b

．

点评：适当变形转化为等比数列，熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键．注意分类讨论的思想方法应用．